問題：

この問題は、 $A = \bu v\transp$ というシンプルな行列で4つの部分空間を考える問題。直感的に理解しているかどうかを試す、よい練習になります。

答え：

• 列空間 $\bCSpace(A)$：$\bu$のスカラー倍全体（$\bCSpace(\bu) = \langle \bu \rangle$）
• 行空間 $\bCSpace(A\transp)$：$\bv$のスカラー倍全体（$\bCSpace(\bv) = \langle \bv \rangle$）
• 零空間 $\bNSpace(A)$：$\bv$に直交するベクトル全体（$\bNSpace(\bv) = \langle \bv \rangle^\perp$）
• 左零空間 $\bNSpace(A\transp)$：$\bu$に直交するベクトル全体（$\bNSpace(\bu) = \langle \bu \rangle^\perp$）

$A$のすべての列は、$\bu$ の$\bv$の成分倍であるため、列空間は$\bu$のスカラー倍全体（$\bCSpace(A) = \langle \bu \rangle$）になる。また、$A\bx$ を考えたとき、$\bv\transp \bx =\alpha$ （内積）とおけば、
$$
\begin{align}
A\bx = (\bu \bv\transp) \bx = \bu (\bv\transp \bx) = (\bv\transp \bx) \bu = (\bv \cdot \bx) \bu = \alpha \bu
\end{align}
$$
$\alpha$が実数なので、列空間は$\bu$のスカラー倍全体ということからも分かる。
同様にすべての行は $\bv$ の $\bu$ の成分倍であるため、行空間は$\bv$のスカラー倍全体になる（$\bCSpace(A\transp) = \langle \bv \rangle$）。

零空間は、$A \bx = \bzero$を満たす$\bx$の集合であり、$\bu \ne \bzero$ なので
$\alpha = 0$ すなわち、$\bv \cdot \bx = 0$ を満たす$\bx$の集合（$\bNSpace(A) = \langle \bv \rangle^\perp$）になる。同様に、左零空間は$\bu$に直交するベクトル全体（ $\bNSpace(A\transp) = \langle \bu \rangle^\perp$ ）になる。

なお、ストラング先生の短いエッセイ「The Four Fundamental Subspaces: 4 Lines」のp.4に、この問題についての詳しい解説がある。